一堂物理课，关于自由思想
小朋友回来说，浮力这一部分的内容有点难，于是和小朋友一起探讨了一遍。
在课本上说： 物体的沉浮条件中，对应一个物体是漂浮、悬浮还是沉底，取决于：
- 物体的密度小于液体的密度，物体漂浮在液体表面
- 物体的密度等于液体的密度，物体悬浮在液体中
- 物体的密度大于液体的密度，物体沉底
1.密度对比关系的不同，是怎么决定物体在液体中的状态的？
从基本的受力分析开始，物体在液体中受到的力有两个，一个是重力，一个是浮力。以悬浮物体为例，物体所受的重力等于物体所受的浮力。
即： \(G_物 = F_浮\)
而
\[G_物 = m_物 \cdot g = \rho_物 \cdot V_物 \cdot g\]根据阿基米德实验的验证，浮力的大小等于物体排开液体的重力：
\[F_浮 = \rho_液 \cdot V_排 \cdot g\]而悬浮物体排开液体的体积等于物体的体积，所以
\[V_排 = V_物\] \[\rho_物 \cdot V_物 \cdot g = \rho_液 \cdot V_物 \cdot g\] \[\rho_物 = \rho_液\]物体悬浮在液体中，则物体的密度等于液体的密度，可由上述公式推导。
这个道理简单易理解，铁比较重，木头比较轻。所以木头会浮在水面上，铁会沉底。
轻的东西浮在水上，重在东西沉在水底，童年形成的常识，似乎根深蒂固。
然而它无法解释为什么万吨巨轮能够航行于水面。而且直到初中之前，似乎都很难对小朋友解释并让他理解。
2.铁块沉于水，铁块加工成圆碗则会浮于水面，是因为密度变化了吗?
这是因为这个物体之于水的体积变化了。如果拟人化一样，把水比喻成一个人，那么在他的眼里，铁块前后的体积变化了，加工成圆碗的铁块，在水的眼睛里，变成了一个庞然大物。
在继续理解之前，先来看另一个看起来简单一些的问题：
一个100克重的木头块，浮于水面。一个100克重的铁块，沉于水底。
3.100克重的木头和10克重的铁块绑在一起，会不会浮于水面？
100克重的木头和10克重的铁块绑在一起，会不会浮于水面？
100克重的铁块和10克重的木头绑在一起，会不会浮于水面？
前者会浮于水面，后者会沉于水底。当两个物体绑在一起的时候，我们计算的是平均密度，即总质量除以总的体积。当平均密度比水小的时候，物体就会浮于水面；当平均密度比水大时，物体就会沉于水底。
木头的体积（假设木头密度 ρ木=0.6g/cm³）：
\[V_木 = \frac{m_木}{\rho_木} = \frac{100g}{0.6g/cm³} = 166.6cm³\]铁块的体积（假设铁密度 ρ铁=7.8g/cm³）：
\[V_铁 = \frac{m_铁}{\rho_铁} = \frac{10g}{7.8g/cm³} = 1.2cm³\]木头和铁块绑在一起的体积：
\[V_木+铁 = V_木 + V_铁 = 166.6cm³ + 1.2cm³ = 167.8cm³\]木头和铁块绑在一起的质量：
\[m_木+铁 = m_木 + m_铁 = 100g + 10g = 110g\]木头和铁块绑在一起的平均密度：
\[\rho_木+铁 = \frac{m_木+铁}{V_木+铁} = \frac{110g}{167.8cm³} = 0.65g/cm³\]因为平均密度比水小，所以木头和铁块绑在一起会浮于水面。
由上述示例，再来看：
4.小明体重40kg，他需要站在多重的木头块上面，才会浮在水面上？
要使小明站在木块上浮于水面，需满足 木块和小明的整体平均密度 ≤ 水的密度（1 g/cm³）。
由为需要计算木块的最小重量，我们假设这块木头的浮力只够刚好支撑小明，小明站在上面时，木块已经完全浸没在水中。
由：
\[\rho_{小明+木块} = \frac{m_{小明}+m_{木块}}{V_{木块}} \leq 1g/cm³\]假设木块的密度为0.6g/cm³，木块的体积为V木块，则有：
\[V_{木块} = \frac{m_{木块}}{\rho_{木块}} = \frac{m_{木块}}{0.6g/cm³}\] \[\rho_{小明+木块} = \frac{m_{小明}+m_{木块}}{V_{木块}} = \frac{40kg+m_{木块}}{\frac{m_{木块}}{0.6g/cm³}} \leq 1g/cm³\] \[40kg+m_{木块} \leq \frac{m_{木块}}{0.6g/cm³}\] \[40kg \leq \frac{m_{木块}}{0.6g/cm³} - m_{木块}\] \[40kg \leq \frac{m_{木块} - 0.6g/cm³ \cdot m_{木块}}{0.6g/cm³}\] \[40kg \leq \frac{0.4g/cm³ \cdot m_{木块}}{0.6g/cm³}\] \[40kg \cdot 0.6g/cm³ \leq 0.4g/cm³ \cdot m_{木块}\] \[m_{木块} \geq 60kg\]小明需要站在一个重60kg的木块上，才能浮在水面上。
当我们有了整体的体积和平均密度的概念后，回头来看为什么钢铁轮船能够行于水上。
首先轮船并不是纯粹由钢铁一种材料构成，其次，在轮船的内部存在很多的空腔，这些空腔极大地延展了轮船的体积。轮船的平均密度和轮船的体积成反比，之所以能够浮在水上，是因为平均密度比水小。
我们再来看，物体的体积是如何影响物体的平均密度的。
一个正方体的铁块，边长为4cm，体积为64cm³，质量为512g，铁的密度为8g/cm³。
铁块的密度远大于水的密度1g/cm³，所以铁块沉于水底。
5.铁块加工成很薄的铁片，厚度仅为1mm，此时铁片能浮于水面吗？
铁块被压制成一个薄片，厚度为1mm = 0.1cm，表面积为640cm²。 此时铁片的体积为640cm² * 0.1cm = 64cm³ (未发生变化)，质量为512g (未发生变化)，平均密度为8g/cm³ (未发生变化)，所以铁片沉于水底。
关键在于铁片的体积与加工之前的铁块的体积是一样的，质量也没有发生变化，所以平均密度也没有发生变化。它们能排开的水的体积也没有发生变化，所以浮力也没有发生变化。
6.铁块怎么加工，才能浮于水面呢？
一个简单的原则是，让它形成能够装水的空腔。当铁块有了能够装水的空腔后，铁块的体积就会增大，平均密度就会减小。
我们把铁块加工成一个内部空心的长方体，底面边长为4cm * 4cm，仍与原来相同。壁厚为0.1cm。
我们先来测算，此时的形状体积。已知铁块的密度和质量不变，所以我们可以先算出铁块的体积：
\[V_{铁块} = \frac{m_{铁块}}{\rho_{铁块}} = \frac{512g}{8g/cm³} = 64cm³\]底面积为4cm * 4cm = 16cm²，壁厚为0.1cm，底面材料的体积为：
\[V_{底面} = 4cm * 4cm * 0.1cm = 1.6cm³\]假设柱体高度为h, 侧壁材料体积 = 4 × (3.9×h×0.1) = 1.56h cm³
则有：
\[V_{铁块} = V_{底面} + 4 × (3.9×h×0.1)\] \[64cm³ = 1.6cm³ + 1.56h cm³\] \[1.56h = 64cm³ - 1.6cm³\] \[1.56h = 62.4cm³\] \[h = \frac{62.4cm³}{1.56} = 40cm\]因为铁柱内部是空心的，我们往铁柱内部装载一种货物：“二氧化氮（NO₂）气体”。二氧化氮的分子量为46g/mol，密度为1.58g/L，它是红棕色的气体，有毒性，在汽油车尾气中含有排放。空气的密度 ≈1.29 g/L，因为二氧化氮的比空气重，所以它会在柱体内部不会逃逸。
此时我们再来计算铁块和二氧化氮的平均密度。我们知道铁块的质量为512g，体积为64cm³。铁柱内部空腔的高度为 40cm 减去底部壁厚（0.1 cm），顶部开放。铁柱内部的长和宽由于受到壁厚影响：长、宽方向需减去两侧壁厚（共0.2 cm），即3.8cm。
二氧化氮的质量为： \(m_{二氧化氮} = \rho_{二氧化氮} \cdot V_{柱体空腔} = 1.58g/L \cdot (39.9 \cdot 3.8 \cdot 3.8) cm³ = 1.58g/L \cdot 576.1cm³ = 0.9g\)
所以此时铁块和二氧化氮的质量为：
\[m_{铁块+二氧化氮} = m_{铁块} + m_{二氧化氮} = 512g + 0.9g = 512.9g\]此时的铁块和二氧化氮的体积为：
\[V_{铁块+二氧化氮} = V_{铁块} + V_{二氧化氮} = 64cm³ + 576.1cm³ = 640.1cm³\]此时的铁块和二氧化氮的平均密度为：
\[\rho_{铁块+二氧化氮} = \frac{m_{铁块+二氧化氮}}{V_{铁块+二氧化氮}} = \frac{512.9g}{640.1cm³} = 0.8g/cm³\]此时的平均密度比水的密度小，所以铁块和二氧化氮能够浮于水面。
- 由于二氧化氮的密度大于空气，也就意味着含有空气的铁柱肯定会浮于水。
我们通过引入一种比空气还重的介质，测得铁柱能够浮于水面，从而证明了之前装了空气的铁柱可以浮于水面。
我们还能进一步测算出来，此时铁柱浸入水下部分的高度为多少。
根据铁柱处于漂浮状态，可得铁柱的重力和浮力相等：
\[G_{铁块} = F_{浮}\] \[m_{铁块} \cdot g = \rho_{水} \cdot V_{浸入水下} \cdot g\] \[V_{浸入水下} = \frac{m_{铁块}}{\rho_{水}} = \frac{512g}{1g/cm³} = 512cm³ = {4cm * 4cm * h}\] \[h_{浸入水下} = \frac{512g} {4cm * 4cm} = 32\]求得水面以下的部分为32cm，水面以上的部分为8cm。
7.带有空腔的铁柱，底部破了一个小洞，还能浮于水面吗？
如果底部破了一个小洞，水会从底部流入铁柱内部，随着水流的进入，就把原来空气或者二氧化氮的位置挤走了。那么在计算平均密度的时候，体积虽然没有变化，但是重量换成了大部分的水和铁，于是铁柱的平均密度就会变大，最终就会沉于水底。
如果知道底部的漏洞的大小，还可以通过伯努利方程和小孔出流公式，结合微积分，来计算经过多久以后铁柱会沉没。这个部分超纲了，暂时不讨论。
平均密度的概念，可以帮我们理解：
一艘船，如果船底破了一个洞，船员就会立刻想办法堵住漏洞，把水舀出去，不然平均密度升高，船会有危险。
8.潜水艇为什么能在水中上浮和下沉？
而潜水艇在需要下沉的时候，会往艇内灌水，是因为潜水艇有单独的储水仓，用以储水，以增加潜水艇的平均密度，达到下沉的目的。
9.鱼为什么能在水中上浮和下沉？
淡水鱼为什么能够在水里上浮和下潜呢？本质也是对于排水体积的应用。鱼鳔是鱼体内的一个空腔，当需要上浮的时候，鱼鳔能主动从血液中提取氧气，使空腔增大，从而减小平均密度。当需要下潜的时候，能主动吸收气体回血液，使空腔缩小，从而增大平均密度。
鱼的密度约为1.05–1.10 g/cm³，略大于水，通过自然进化出了一套微妙的浮沉调节机制。
铁柱的沉于水或者浮于水，除了用平均密度以外，还可以用阿基米德定理来解释：阿基米德定理是说，物体在液体中所受的浮力等于物体排开液体的重力。
\[F_{浮} = \rho_{水} \cdot V_{浸入水下} \cdot g\]当铁柱内部有一个不漏水的空腔时，它能够排开的水的体积大大增加了，所以它的浮力也就大大增加了。 当铁柱底部破了一个洞，水会从底部流入铁柱内部，随着水流的进入，它就失去了原来排开水的体积，浮力就会减小，最终就会沉于水底。
10.阿基米德测皇冠的方法肯定有效吗？
国王怀疑工匠在纯金皇冠中掺了白银(重金属, 但是密度和价值小于黄金)，在不破坏皇冠的前提下，请阿基米德来鉴定。 阿基米德将皇冠和同等重量的纯金分别浸入装满水的容器，测量排出的水量（即排水体积）。若皇冠排水量更大，则说明其体积更大，密度更小，存在掺假。
这一测量结果的准确性，依赖于一个前提：皇冠是实心的，材料内部不存在空隙或者空腔。如果材料内部存在空腔且不漏水，那么皇冠的平均密度就会减小，排水体积就会增大，最终导致测量结果错误。
理论上，工匠可以掺入部分比黄金重的金属比如铂，减少金属体积，再通过空腔补足剩余体积。来达到掺假而不被发现的目的。在古代没有X光机或者超声波检测的情况下，阿基米德测皇冠的方法将会失效。
如果工匠掺常见的：银、铜等金属，由于其密度低于黄金，皇冠内部的空腔无法抵消体积变化，因此无法蒙混过关。
挑战完阿基米德，我们再来看：
11.一艘豪华轮船，用纯金打造，能否浮于水面呢？
黄金的密度是19.3g/cm³，铁的密度是8g/cm³，黄金的密度是铁的两倍多，用它造船，可能浮于水面吗？
假设有500克黄金，且有充足的加工条件，根据阿基米德定理，要使黄金浮于水，需要使得平均密度小于等于1g/cm³：
\[\rho_{黄金} = \frac{m_{黄金}}{V_{黄金}} \leq 1g/cm³\] \[V_{黄金} = \frac{m_{黄金}}{\rho_{黄金}} = \frac{500g}{19.3g/cm³} = 25.9cm³\]我们需要加工成一个体积为500cm³的黄金块，才能使黄金块浮于水面。若加工成一个无盖立方体，在边长为7.9cm，壁厚为0.8mm的情况下，体积为500cm³，质量为500g，平均密度为1g/cm³，能够浮于水面。
但是由于黄金本身的昂贵以及柔软性，它的强度不足以用作船体材料。但是在理论上，黄金是可以浮于水面的。
我们再把挑战难度向前推：
12.地球上密度最大的金属是什么？如果用它来造船，能浮在水面上吗？
地球上密度最大的金属是锇（Os），在室温下其密度约为 22.59 g/cm³。理论上，和黄金一样，通过设计成中空结构，使整体的平均密度小于水的密度，那么即使锇的密度极高，船仍能浮起。
现实上，锇的稀有性和高成本以及挥发毒性使其不适合用于船只建造。。
那么，真的任何金属都能浮在水面上吗？
13.外星球上存在密度极高的金属，用它造船，它不能够浮在水面上，可能吗？
这个假设有可能成立：
第一种情况是：如果外星金属的密度远超已知材料，比如 200 g/cm³ 以上，1 / 200 = 0.05，船体需要 99.5% 以上是空腔才能浮起。
在地球上，蜜蜂通过数百万年进化选择六边形蜂巢结构来最大化体积和强度的平衡，以蜂巢为借鉴，应用于航空工业的碳纤维蜂窝能够实现98%空腔比例。如果应用地球上的工程技术，我们无法实现 99.5% 的空腔比例，且金属的强度仍然能够支撑船体结构。
第二种情况是：外星球的重力异常高。
要使得船浮于水面，需要满足 G物 = F浮，即物体的重力等于浮力。假设外星球的重力是地球的 100 倍，那么物体的重力也会是地球的 100 倍，在高重力的情况下，可能使船体材料坍塌，无法维持空心结构。
比如中子星物质：中子星物质的密度可达 10¹⁴ g/cm³，假设一粒沙子大小的中子星材料来拜访地球，它在地球海洋中会瞬间沉没并击穿地壳。
总结
浮力现象仿佛是黄金一样，具有很强的延展性。透过浮力这一个小小的点，可以窥见五彩斑斓的世界。
物理之所以有趣，是因为它是一个规律支配的世界。它不依赖“我觉得”、”我认为“，而是依赖于“我能证明”。
学习物理的过程，答案并不重要，它总可以通过求索得到。提问题才是最重要的，只有不停地问问题，才能引领我们在认知世界中前进。